Question

15．扣人心弦巴西世界足球杯已落下了帷幕，為了解市民對(duì)該屆世界杯的關(guān)注情況，某市足球協(xié)會(huì)針對(duì)該市市民組織了一次隨機(jī)調(diào)查，所抽取的樣本容量為120，調(diào)查結(jié)果如下：

收視情況	看直播	看轉(zhuǎn)播	不看
人數(shù)（單位：人）	60	40	20

（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人頒發(fā)幸運(yùn)禮品，求這3人中至少有1人為“看直播“的概率
（2）現(xiàn)從（1）所抽取的6人的問(wèn)卷中每次抽取1份，且不重復(fù)抽取，直到確定出所有為看直播的問(wèn)卷為止，記要抽取的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，則抽中的6人中，看直播的人數(shù)為3人，看轉(zhuǎn)播的人數(shù)為2人，不看的人數(shù)為1人，由此能求出選取3人中至少有1人為“看直播”的概率．
（2）由題意知抽取的次數(shù)X=3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（1）從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，
則抽中的6人中，看直播的人數(shù)為：$\frac{60}{120}$×6=3人，
看轉(zhuǎn)播的人數(shù)為：$\frac{40}{120}$×6=2人，
不看的人數(shù)為：$\frac{20}{120}$×6=1人，
再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人頒發(fā)幸運(yùn)禮品，
這3人中至少有1人為“看直播”的概率：
P=1-$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{19}{20}$．
（2）∵6人中，看直播的人數(shù)為3人，
∴由題意，X=3，4，5，
當(dāng)X=3，表示前3次抽取的都是看直播的3人或者是不看直播的3人，
則P（X=3）=$\frac{3×2×1}{6×5×4}$+$\frac{3×2×1}{6×5×4}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{10}$，
當(dāng)X=4，表示前3次中有2次是看直播的，第4次是第3個(gè)看直播的，
或者是前3次中有2次是不看直播的，第4次是第3個(gè)不看直播的，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}×3×2×3}{6×5×4×3}$+$\frac{{C}_{3}^{2}×3×2×3}{6×5×4×3}$=$\frac{3}{20}$+$\frac{3}{20}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=1-$\frac{1}{10}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴X的分布列

X	3	4	5
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$

X=3×$\frac{1}{10}$+4×$\frac{3}{10}$+5×$\frac{3}{5}$=$\frac{45}{10}=\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．