一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長(zhǎng)為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問(wèn)當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1），（2），（3）當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大．

解析試題分析：（1）解答實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積，體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長(zhǎng)，底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求關(guān)系式. （2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，定義區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)討論其單調(diào)性，研究其圖像變化規(guī)律，確定其極值、最值.本題函數(shù)先增后減，在時(shí)，取極大值，也是最大值.（3）本題實(shí)質(zhì)是求表面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)是否成立.首先先建立表面積的函數(shù)關(guān)系式.表面積由兩部分組成，一是底面積，二是側(cè)面積. 底面積為梯形的面積，有兩個(gè). 側(cè)面積為梯形周長(zhǎng)與圓木的長(zhǎng)的乘積.再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值及取最大值時(shí)角的取值.
試題解析：（1）梯形的面積
=，． 2分
體積． 3分
（2）．
令，得，或（舍）．∵，∴． 5分
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． 7分
∴當(dāng)時(shí)，體積V最大． 8分
（3）木梁的側(cè)面積=，．
=，． 10分
設(shè)，．∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，最大． 12分
又由（2）知時(shí)，取得最大值，
所以時(shí)，木梁的表面積S最大． 13分
綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． 14分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）設(shè)曲線處的切線為，若與點(diǎn)（1，0）的距離為，求a的值；
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，試確定的取值范圍；
（3）當(dāng)上是否存在極值？若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，且過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中所有元素的最小數(shù)，，求的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中．
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)（），其中．
（1）若曲線與在點(diǎn)處相交且有相同的切線，求的值；
（2）設(shè)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上的值恒為負(fù)數(shù)，求的取值范圍．

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已知．
（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；
（2）求證：恒成立；
（3）求證：．（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.
(1)若a＝3時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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