Question

8．命題P：實(shí)數(shù)a滿足關(guān)于x的不等式|x+2a|+|x+3|＞a+1的解集為R；命題Q：實(shí)數(shù)a滿足關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|＞|x+a|的解集為R．若P與Q恰有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的范圍為$a≤\frac{2}{3}$或a＞4．

Answer 1

分析 命題Q：?x∈R，則|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，不等式|x+1|+|x-1|＞|x+a|化為：2＞|x+a|，因此對于確定的常數(shù)a：關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|＞|x+a|的解集為R是假命題．根據(jù)P與Q恰有一個(gè)為真命題，可得P為真命題．對于命題P：?x∈R，|x+2a|+|x+3|≥|2a-3|，由于實(shí)數(shù)a滿足關(guān)于x的不等式|x+2a|+|x+3|＞a+1的解集為R，可得|2a-3|＞a+1，解出即可得出．

解答 解：命題Q：?x∈R，則|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，不等式|x+1|+|x-1|＞|x+a|化為：2＞|x+a|，
因此對于確定的常數(shù)a：關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-1|＞|x+a|的解集為R是假命題．
∵P與Q恰有一個(gè)為真命題，
∴P為真命題．
命題P：?x∈R，|x+2a|+|x+3|≥|（x+2a）-（x+3）|=|2a-3|，
∵實(shí)數(shù)a滿足關(guān)于x的不等式|x+2a|+|x+3|＞a+1的解集為R，
∴|2a-3|＞a+1，化為：3a²-14a+8＞0，a+1≥0，或a+1＜0．
解得a＞4或$-1≤a≤\frac{2}{3}$，a＜-1．
即$a≤\frac{2}{3}$或a＞4．
則實(shí)數(shù)a的范圍為$a≤\frac{2}{3}$或a＞4．
故答案為$a≤\frac{2}{3}$或a＞4

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、不等式的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．