Question

3．記S_n為正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$-7•$\frac{{S}_{6}-{S}_{3}}{{S}_{3}}$-8=0，且正整數(shù)m，n滿足a₁a_ma_2n=2${a}_{5}^{3}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{9}{5}$
• D． $\frac{15}{7}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q=2，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得m+2n=15，結(jié)合基本不等式可得答案．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
∵$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$-7•$\frac{{S}_{6}-{S}_{3}}{{S}_{3}}$-8=0，
∴q⁶-7q³-8=0，
解得：q=2，或q=-1（舍去），
若正整數(shù)m，n滿足a₁a_ma_2n=2${a}_{5}^{3}$，
則m+2n=15，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$）（$\frac{m+2n}{15}$）=$\frac{17}{15}$+$\frac{2n}{15m}$+$\frac{8m}{15n}$≥$\frac{17}{15}$+2$\sqrt{\frac{2n}{15m}•\frac{8m}{15n}}$=$\frac{5}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2n}{15m}$=$\frac{8m}{15n}$，即m=3，n=6時(shí)，取等號(hào)，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{8}{n}$的最小值是$\frac{5}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，是不等式與數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度中檔．