Question

12．如圖，在△ABC中，sin$\frac{∠ABC}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求cos∠ABC；
（Ⅱ）求BC和AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）先求出cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，設(shè)BC=a，DC=b，則由余弦定理可得9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$；由∠ADB與∠CDB互補(bǔ)，可得3b²-a²=-6，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）、cos∠ABC=1-2sin²$\frac{∠ABC}{2}$=1-2×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）、設(shè)BC=a，DC=b，則AD=2b，AC=3b，
在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，
即9b²=a²+4-2×$2×a×\frac{1}{3}$，9b²=a²+4-$\frac{4a}{3}$…．①…（6分）
在△ABC中，cos∠BDA=$\frac{\frac{16}{3}+4^{2}-4}{2×\frac{4\sqrt{3}}{3}×2b}$，…（8分）
由cos∠BDC+cos∠BDA=0，
得3b²=a²-6…②…（10分）
由①、②解得a=3，b=1，所以BC=3，AC=3…（12分）

點(diǎn)評 本題考查二倍角公式，余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．