Question

3．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=y=0．可求f（0）=0，令y=-x即可得出f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）利用定義法判斷即可．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，
∵有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），
所以：f（0）=0．
令y=-x，可得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故得f（x）為奇函數(shù)．
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
由題意設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
那么：f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
由題意x＞0時，有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法求解函數(shù)奇偶性和構(gòu)造定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．