Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求直線BP與平面PAC所成的角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接BD交AC于O，連接EO，證明EO∥PB，利用線面平行的判定定理即可得結(jié)論；
（2）確定BA⊥平面PAC，可得直線BP與平面PAC所成的角為∠BPA，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：連接BD交AC于O，連接EO．
在△DPB中，E是PD的中點，
又O是BD的中點，∴EO∥PB．…
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC …（6分）
（2）解：由PA⊥平面ABCD，BA?平面ABCD，
∴PA⊥BA，
又BA⊥AC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
∴BA⊥平面PAC…（9分）
∴直線BP與平面PAC所成的角為∠BPA…（11分）
在Rt△ABP中，由PA=AB，可知∠BPA=45°
故直線BP與平面PAC所成的角為45°…（12分）

點評：本題考查直線與平面所成的角與直線與平面平行的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握直線與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，屬于中檔題．