Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時， 在單調(diào)遞減；(3) .

【解析】試題分析：（1）在的最值只能在和區(qū)間的兩個端點取到，因此，通過算出上述點并比較其函數(shù)值可得函數(shù)在的最值；（2）算出，對的取值范圍分情況討論即可；（3）根據(jù)（2）中得到的單調(diào)性化簡不等式，從而求解不等式，解得的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時， ，∴，

∵的定義域為，∴由，得.……………………2分

∴在區(qū)間上的最值只可能在取到，

而， ， ，……4分

（2）， ，

①當(dāng)，即時， ，∴在上單調(diào)遞減；……5分

②當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞增；…………………………6分

③當(dāng)時，由得，∴或（舍去）

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；……………………8分

綜上，當(dāng)時， 在單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時， 在單調(diào)遞減；

（3）由（2）知，當(dāng)時， ，

即原不等式等價于，…………………………12分

即，整理得，

∴，………………13分

又∵，∴的取值范圍為.……………………14分