Question

空間中有一點(diǎn)“K”，從K放射出四條線段KA、KB、KC、KD．已知KA=3m，KB=4m，KC=5m，KD=6m．問：四面體ABCD體積的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：當(dāng)K為四面體ABCD的“垂心”時(shí)，四面體體積最大．將四面體ABCD，擴(kuò)展為正四面體，利用計(jì)算正四面體的體積，可得四面體ABCD體積的最大值．

解答： 解：當(dāng)K為四面體ABCD的“垂心”時(shí)，四面體體積最大．假設(shè)四面體ABCD體積最大時(shí)，K不是四面體的垂心．不妨設(shè)KA不垂直BCD． 然后，我們經(jīng)過K向BCD劃垂線，并將垂線反向延長(zhǎng)3米，從而得到點(diǎn)T．顯然四面體TBCD的體積大于ABCD．這就與假設(shè)矛盾了． （KB、KC、KD不垂直的證明過程與此相同） 因此，四面體ABCD體積最大時(shí)，K是四面體的垂心．
如圖，DA₂A₃A₄為正四面體，KD=KA₂=KA₃=KA₄=6m，K為其中心，截取KA=3m，KB=4m，KC=5m，下面計(jì)算D-ABC的體積，
∵

6

4

DA2=6，∴DA₂=4

6

，正四面體的高為h，則

6

3

h=6，∴h=3

6

，
∴正四面體的體積為V=

1

3

×

1

2

×(4

6

)2×

3

2

×3

6

=72

2

，
∴VK-DA2A3=18

2

，
∴V_D-ABC=（

5

6

×

4

6

+

5

6

×

3

6

+

4

6

×

3

6

+

5

6

×

4

6

×

3

6

）×18

2

=

57

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體ABCD體積的最大值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定當(dāng)K為四面體ABCD的“垂心”時(shí)，四面體體積最大是關(guān)鍵．