【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD菱形,,平面平面 ABCD, .EF 分別是線段 SCAB 上的一點(diǎn), .

(1)求證:平面SAD;

(2)求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

【解析】

1)先證明平行四邊形AGEF,得到AGEF,再證明EF∥平面SAD;

2)以OA,OBOS所在直線為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,求出平面DEF的法向量和平面SBC的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值,從而求出平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.

1)過(guò)點(diǎn)EEGDC,如圖,連接AG,因?yàn)?/span>,所以,

EGCDEG,由,AF,

因?yàn)榱庑?/span>ABCD,所以EGAF,EGAF,

故平行四邊形AGEF,所以AGEF

平面,平面,所以平面.

2)取AD中點(diǎn)O,等腰三角形SAD,故SOAD,連接OB,

菱形ABCD,∠ADC120°,所以OBOA

又平面SAD⊥平面ABCD所以SO⊥平面ABCD,

OA,OB,OS所在直線為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

因?yàn)?/span>SASD3,所以ADABCD6SO3,

ADC120°,所以AF2,OBAOOD3,

所以A30,0),D(﹣3,0,0),S0,03),

F2,0),B0,3,0),C(﹣6,3,0),

(﹣2,﹣1),得E(﹣2,2),

所以,,

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為,

,得,故

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為,

,得,故

所以,

平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)記.若,證明: ;

(Ⅲ)若,求的最小值.

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1)當(dāng)時(shí),求OD的長(zhǎng);

2)當(dāng)木棒OC繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)時(shí),求AD的長(zhǎng)的范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案