Question

如圖所示，已知圓O：x²+y²=1與x軸交于A、B兩點，與y軸的正半軸交于點C，M是圓O上任意點（除去圓O與兩坐標軸的交點）．直線AM與直線BC交于點P，直線CM與x軸交于點N，設(shè)直線PM、PN的斜率分別為m、n．
（Ⅰ）求直線BC的方程；
（Ⅱ）求點P、M的坐標（用m表示）；
（Ⅲ）是否存在一個實數(shù)λ，使得m+λn為定值，若存在求出λ，并求出這個定值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（I）由B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，1），利用待定系數(shù)法，可得直線BC的方程；
（Ⅱ）由A點坐標為（-1，0），直線AM即直線PM的斜率為m，可得直線AM即直線PM的方程，聯(lián)立（I）中BC的方程，可得點P的坐標，聯(lián)立單位圓的方程可得M點的坐標；
（Ⅲ）由斜率公式，結(jié)合M，C點坐標，求出直線CM的方程，進而求出N點坐標，結(jié)合直線PN的斜率為n可得n值，設(shè)存在一個實數(shù)λ，使得m+λn為定值k，則m+λn=m+

λm-λ

2

=k，即（λ+2）m-（λ+k）=0恒成立，令λ+2=λ+k=0可得答案．

解答： 解：（I）∵B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，1），
設(shè)直線BC的方程為：y=kx+b，
則k+b=0，b=1，
解得：k=-1，b=1，
故直線BC的方程為：y=-x+1，即x+y-1=0．…①
（II）由A點坐標為（-1，0），直線AM即直線PM的斜率為m，
故直線AM即直線PM的方程為：y=m（x+1）…②
由①②得：x=

1-m

1+m

，y=

2m

1+m

，
即P點的坐標為：（

1-m

1+m

，

2m

1+m

），
將②代入x²+y²=1得：
（m²+1）x²+2m²x+（m²-1）=0
解得：x=-1（舍）或x=

1-m2

1+m2

，
則y=

2m

1+m2

，
故M的坐標為：（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
（III）由（II）得：M的坐標為：（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
結(jié)合C點坐標為（0，1），故k_CM=

2m 1+m2 -1

1-m2 1+m2

=

m-1

m+1

，
故直線CM的方程為：y=

m-1

m+1

x+1，
令y=0，得x=

1+m

1-m

，
故N點的坐標為（

1+m

1-m

，0），
由直線PN的斜率為n．
故n=

2m 1+m

1-m 1+m - 1+m 1-m

=

m-1

2

若存在一個實數(shù)λ，使得m+λn為定值k，
則m+λn=m+

λm-λ

2

=k，
即（λ+2）m-（λ+k）=0恒成立，
故λ=-2，k=2．

點評：本題考查的知識點是圓方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，斜率公式，存在性問題，是直線與圓的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．