Question

已知函數(shù)f（x）=2^x|2^x-a|+b．
（Ⅰ） 當a=1，b=0時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ） 當a=b=4時，若f（x）=5，求x的值；
（Ⅲ） 若b＜-4，且b為常數(shù)，對于任意x∈（0，2]，都有f（log₂x）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 當a=1，b=0時，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ） 當a=b=4時，若f（x）=5，解方程即可求x的值；
（Ⅲ） 根據(jù)不等式的解法，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） 當a=1，b=0時，f（x）=2^x|2^x-1|．
∵f（1）=2，f（-1）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
故函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（Ⅱ） 當a=b=4時，若f（x）=5，
則f（x）=2^x|2^x-4|+4=5．
即2^x|2^x-4|=1．
若2^x-4≥0，即x≥2，則等價為2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4•2^x-1=0
解得2^x=2+

5

，即x=log2(2+

5

)；
若2^x-4＜0，即x＜2，則等價為-2^x（2^x-4）-1=0．
即（2^x）²-4•2^x+1=0
解得2^x=2-

3

，
即x=log2(2-

3

)，
綜上x=log2(2-

3

)或x=log2(2+

5

)；
（Ⅲ） 不等式等價于x+

b

x

＜a＜x-

b

x

，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，x+

b

x

的最大值為2+

b

2

，x-

b

x

的最小值為2-

b

2

，
所以 2+

b

2

＜a＜2-

b

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義以及對數(shù)方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．