Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直平面ABCD，AD=CD，DB平分角ADC，E為PC的重點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：AC⊥平面PBD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明：設(shè)AC∩BD=H，連結(jié)EH．證明EH∥PA．利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明PA∥平面BDE．
（2）證明PD⊥AC．DB⊥AC．通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明AC⊥平面PBD．

解答： （1）證明：設(shè)AC∩BD=H，連結(jié)EH．
在△ADC中，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴H為AC的中點(diǎn)．
又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA．
又EH⊆平面BDE，且PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，∴PD⊥AC．
由（1）可得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．