Question

17．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD，PA=AC=2AD=4，AB=BC=2$\sqrt{5}$，M，N分別為PD，PB，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面MBE⊥平面PAC；
（2）求三棱錐B-AME的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F為AC的中點(diǎn)，連結(jié)BF和EF，推導(dǎo)出EF⊥AC，EF⊥AC，BE⊥AC，PA⊥BE，從而BE⊥平面PAC，由此能證明BE⊥PC．
（2）三棱錐B-AME的體積：V_B-AME=V_M-ABE，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）設(shè)F為AC的中點(diǎn)，連結(jié)BF和EF，
∵AB=BC，∴BF⊥AC，
∵E為CD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，
又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC，
∵E為CD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，
又∵AC⊥AD，∴EF⊥AC，
∴B、F、E三點(diǎn)共線，∴BE⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，且BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，∴BE⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BE⊥PC．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，且M為PD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M到平面ABCD的距離為$\frac{1}{2}$PA=2，
由（1）知AF=$\frac{1}{2}$AC=2，EF=$\frac{1}{2}$AD=1，
∵BF⊥AF，且AB=2$\sqrt{5}$，∴BF=$\sqrt{A{{B}^{2}-A{F}^{2}}_{\;}}$=4，
∴BE=BF+EF=5，
∴三棱錐B-AME的體積：
V_B-AME=V_M-ABE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BE×AF×\frac{1}{2}PA$=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．