Question

20．定義M（a，b）=$\frac{a+b+|a-b|}{2}$（a、b∈R）己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2M（{a}_{n+1}，2）}{{a}_{n}}$（n∈N^*）若a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=3a，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₆的值為7255．

Answer 1

分析 分0＜a＜2、與a≥2兩種情況討論，分別可知數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，利用a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=3a即可確定a的值，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，M（a，b）為a與b中最大者，
（1）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
∴a₃=$\frac{2M（{a}_{2}，2）}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$＞2，
a₄=$\frac{2M（{a}_{3}，2）}{{a}_{2}}$=$\frac{8}{a}$，
a₅=$\frac{2M（{a}_{4}，2）}{{a}_{3}}$=4，
a₆=$\frac{2M（{a}_{5}，2）}{{a}_{4}}$=a，
a₇=$\frac{2M（{a}_{6}，2）}{{a}_{5}}$=1，
…
∴數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，
∵a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=a_5×403-a_5×403+1=3a，
∴4-a=3a，解得：a=1，滿足題意，
∴S₂₀₁₆=S₂₀₁₅+a₂₀₁₆=（1+1+4+8+4）×403+1=7255；
（2）當(dāng)a≥2時(shí)，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
∴a₃=$\frac{2M（{a}_{2}，2）}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{a}$＜2，
a₄=$\frac{2M（{a}_{3}，2）}{{a}_{2}}$=4，
a₅=$\frac{2M（{a}_{4}，2）}{{a}_{3}}$=2a≥4，
a₆=$\frac{2M（{a}_{5}，2）}{{a}_{4}}$=a，
a₇=$\frac{2M（{a}_{6}，2）}{{a}_{5}}$=1，
…
∴數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，
∵a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=a_5×403-a_5×403+1=3a，
∴2a-a=3a，解得：a=0，不滿足題意；
綜上所述，a=1，
故答案為：7255．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查分類討論的思想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式和周期數(shù)列的合理運(yùn)用，屬于中檔題．