Question

8．如圖，四邊形ABCD為梯形，其中AB=a，CD=b，若GH表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線），KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLCD相似的線段，MN表示平行于兩底且將梯形ABCD分為面積相等的兩個梯形的線段．
    試研究線段GH，KL，MN與代數(shù)式$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$之間的關(guān)系（需寫出計算過程），并據(jù)此得到它們之間的一個大小關(guān)系．請你用基本不等式證明所得的結(jié)論．

Answer 1

分析 由相似及梯形的面積公式可得GH=$\frac{AB+CD}{2}$=$\frac{a+b}{2}$，KL=$\sqrt{AB•CD}$=$\sqrt{ab}$，MN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，從而利用基本不等式及作差法比較大�。�

解答 解：∵GH是梯形ABCD的中位線，
∴GH=$\frac{AB+CD}{2}$=$\frac{a+b}{2}$，
∵KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLCD相似的線段，
∴$\frac{AB}{KL}$=$\frac{KL}{CD}$，
∴KL=$\sqrt{AB•CD}$=$\sqrt{ab}$，
∵MN表示平行于兩底且將梯形ABCD分為面積相等的兩個梯形的線段，
∴設(shè)梯形ABCD的高為h，則梯形ABNM的高為$\frac{MN-AB}{CD-AB}$h，
由題意知，
$\frac{1}{2}$$\frac{AB+MN}{2}$•$\frac{MN-AB}{CD-AB}$h=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{2}$$\frac{AB+CD}{2}$•h，
解得，MN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，
由基本不等式可得，$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，
（當且僅當a=b時，等號成立），
故$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$＞0，
故$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，
故$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}$，
即KL＜GH＜MN．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．