Question

9．已知函數(shù)f（x）=cos（sinx）+sin（cosx）．則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（x）的周期為π
• B． f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞減
• C． f（x）的最大值為$\sqrt{2}$
• D． f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱

Answer 1

分析 驗(yàn)證f（0）與f（π）是否相等判斷A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷B，計(jì)算f（0）與$\sqrt{2}$比較大小判斷C．

解答 解：（A）∵f（0）=cos0+sin1=1+sin1，f（π）=cos0+sin（-1）=1-sin1．
∴π不是f（x）的周期．故A錯(cuò)誤．
（B）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，y=sinx為增函數(shù)，y=cosx為增函數(shù)，且sinx∈（-$\frac{π}{2}$，0），cosx∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴y=sin（cosx）是增函數(shù)，y=cos（sinx）是增函數(shù)，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）上是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤．
（C）∵f（0）=cos0+sin1=1+sin1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$不是f（x）的最大值，故C錯(cuò)誤．
（D）f（π+x）=cos[sin（π+x）]+sin[cos（π+x）]=cos（-sinx）+sin（-cosx）=cos（sinx）-sin（cosx）．
f（π-x）=cos[sin（π-x）]+sin[cos（π-x）]=cos（sinx）+sin（-cosx）=cos（sinx）-sin（cosx）．
∴f（π+x）=f（π-x）．
∴x=π是f（x）的對(duì)稱軸，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性判斷，函數(shù)的最值，屬于中檔題．