Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x-6a|+|a|x+b．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a，b的值；
（2）若b=1，試討論方程f（x）=0的零點(diǎn)情況．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=x|x-6a|+|a|x+b為奇函數(shù)知f（0）=b=0，f（1）+f（-1）=|1-6a|+|a|-|-1-6a|-|a|=0，從而解得；
（2）由題意，f（x）=x|x-6a|+|a|x+1，討論去絕對值號，從而討論方程的根的個數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-6a|+|a|x+b為奇函數(shù)，
∴f（0）=b=0；
f（1）+f（-1）=|1-6a|+|a|-|-1-6a|-|a|=0，
解得，a=0；
故f（x）=x|x|，
經(jīng)檢驗(yàn)為奇函數(shù)；
（2）由題意，f（x）=x|x-6a|+|a|x+1，
當(dāng)a=0時，f（x）=x|x|+1=0，
解得，x=-1；
當(dāng)a＞0時，
f（x）=x|x-6a|+ax+1=0；
可化為x²-7ax-1=0；
方程的負(fù)根是x|x-6a|+ax+1=0的根；
當(dāng)a＜0時，f（x）=x|x-6a|-ax+1=0可化為x²-7ax+1=0（x＞6a）；
當(dāng)△=0，即a=-

2

7

時，x=-1；
當(dāng)△＞0，即a＜-

2

7

時，
當(dāng)6a•6a-7a•6a+1＞0，即-

6

6

＜a＜-

2

7

時，有兩個解，
當(dāng)6a•6a-7a•6a+1≤0，即a≤-

6

6

時，有一個解；
也可化為x²-5ax-1=0（x≤6a）；
6a•6a-5a•6a-1≤0，-

6

6

≤a＜0時，有一個解，
當(dāng)6a•6a-5a•6a-1＞0，-

6

6

＞a時，無解，
綜上所述，當(dāng)a≥-

2

7

時，方程有一個解，
當(dāng)a=-

2

7

時方程有2個解，
當(dāng)-

6

6

＜a＜-

2

7

時方程有3個解，
當(dāng)a=-

6

6

時有兩個解，
當(dāng)a＜-

6

6

時有1個解．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．