Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+x+k，x≤1}\\{-\frac{1}{2}+{{log}_{\frac{1}{3}}}x，x＞1}\end{array}}$，g（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$（a∈R），若對任意的x₁，x₂∈{x|x∈R，x＞-2}，均有f（x₁）≤g（x₂），則實數(shù)k的取值范圍是$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．

Answer 1

分析 對任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≤g（x₂）可化為f（x）_max≤g（x）_min，由基本不等式可知g（x）_min=-$\frac{1}{2}$；再分段討論確定函數(shù)f（x）可能的最大值，從而可得$\frac{1}{4}$+k≤-$\frac{1}{2}$，從而解得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：若對任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≤g（x₂），
則f（x）_max≤g（x）_min，
對于函數(shù)f（x），當-2＜x≤1時，f（x）=-x²+x+k=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}+k$≤$\frac{1}{4}+k$；當x＞1時，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$$＜-\frac{1}{2}$．
當$k≤-\frac{3}{4}$時，$\frac{1}{4}+k$≤$-\frac{1}{2}$，∴f（x）＜$-\frac{1}{2}$；
當$k＞-\frac{3}{4}$時，$\frac{1}{4}+k$＞$-\frac{1}{2}$，∴f（x）_max=$\frac{1}{4}+k$．
當x=0時，g（x）=0，當x＞0時，g（x）＞0，
當x＜0時，g（x）＜0，
故g（x）_min在（-∞，0）上取得，
當x＜0時，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$（當且僅當x=-1時，等號成立）．
故g（x）_min=-$\frac{1}{2}$．
由$\frac{1}{4}+k≤-\frac{1}{2}$，解得k$≤-\frac{3}{4}$．
∴實數(shù)k的取值范圍是$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．
故答案為：$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．