Question

10．定義[X]表示不超過X的最大整數(shù)．設(shè)n∈N^*，且M=（n+1）²+n-[$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²，則下列不等式恒成立的是（　�。�

• A． M²≥2ⁿ⁺¹
• B． 當(dāng)n≥2時，2^M≥4n-2
• C． M²≥2n+1
• D． 當(dāng)n≥3時，2^M≥2n+2

Answer 1

分析 分析：首先理解[x]所表示的含義，然后把$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²（進行化簡，得到M=n＞0，再分別判斷各選項是否正確，問題得以解決．

解答 解：∵則n是正整數(shù)，
∴[$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²=[（n+1）（n+2）]²=（n+1）²等式成立，
∴M=（n+1）²+n-（n+1）²=n＞0，
對于選項A：M²=n²≥2ⁿ⁺¹當(dāng)n=1不成立，
對于選項B：2^M=2ⁿ≥4n-2，當(dāng)n=3時，不成立
對于選項C：M²=n²≥2n+1當(dāng)n=1不成立，
對于選項D：2^M=2ⁿ≥2n+2，分別畫出y=2x與y=2x+1的圖象，如圖所示，
由圖象可知，當(dāng)n≥3時，2^M≥2n+2恒成立，
故選：D

點評 本題主要考查取整函數(shù)的知識點，解答本題的關(guān)鍵之處是把$\sqrt{（n+1）^{2}+n+1}$]²進化簡成（n+1）²，只要此步有思路了，本題就迎刃而解了．