Question

4．如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，AA₁=$\sqrt{2}a$，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁；
（2）求證：A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接A₁C₁，AC，分別交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，連接MN，C₁P，證明BD∥平面EFB₁D₁，推出MC₁∥NP，然后證明PC₁∥MN，得到PC₁∥平面EFB₁D₁，利用平面與平面平行的判定定理證明平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．
（Ⅱ）連接A₁P，說明四邊形A₁C₁CP為平行四邊形，證明A₁C⊥PC₁，推出BD⊥平面A₁C₁CA，得到BD⊥A₁C，然后證明A₁C⊥平面BDC₁．

解答 證明：（Ⅰ）連接A₁C₁，AC，分別交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，連接MN，C₁P，
由題意，BD∥B₁D₁，
因?yàn)锽D?平面EFB₁D₁，B₁D₁?平面EFB₁D₁，所以BD∥平面EFB₁D₁…（3分）又因?yàn)锳₁B₁=a，AB=2a，所以MC1=$\frac{1}{2}$A1C1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又因?yàn)镋、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，所以NP=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
所以MC₁=NP，
又因?yàn)锳C∥A₁C₁，所以MC₁∥NP，
所以四邊形MC₁PN為平行四邊形，
所以PC₁∥MN；
因?yàn)镻C₁?平面EFB₁D₁，MN?平面EFB₁D₁，所以PC₁∥平面EFB₁D₁，
因?yàn)镻C₁∩BD=P，所以平面EFB₁D₁∥平面BDC₁…（6分）
（Ⅱ）連接A₁P，因?yàn)锳₁C₁∥PC，A₁C₁=PC=$\sqrt{2}$a，

所以四邊形A₁C₁CP為平行四邊形，
因?yàn)镃C₁=AA₁=PC=$\sqrt{2}$a，所以四邊形A₁C₁CP為菱形，
所以A₁C⊥PC₁…（9分）
因?yàn)镸P⊥平面ABCD，MP?平面A₁C₁CA，
所以平面A₁C₁CA⊥平面ABCD；
因?yàn)锽D⊥AC，所以BD⊥平面A₁C₁CA，
因?yàn)锳₁C?平面A₁C₁CA，所以BD⊥A₁C，
因?yàn)镻C₁∩BD=P，所以A₁C⊥平面BDC₁．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，