Question

16．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁＜0，公差d＞0，$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}$＜0，則S_n最小時，n=10．

Answer 1

分析 由題意：公差d＞0，等差數(shù)列是遞增數(shù)列，首項a₁＜0，則{a_n}的前n項和為S_n項必有最小值，利用等差數(shù)列中p+q=m+n，則a_p+a_q=a_n+a_m性質(zhì)，S₂₀=$\frac{20（{a}_{20}{+a}_{1}）}{2}$；a₁+a₂₀=a₁₁+a₁₀即可得到答案．

解答 解：∵S₂₀=$\frac{20（{a}_{20}{+a}_{1}）}{2}$=10（a₁+a₂₀）；
根據(jù)等差數(shù)列中的性質(zhì)，若p+q=m+n，則a_p+a_q=a_n+a_m．
∴a₁+a₂₀=a₁₁+a₁₀；因此：$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}=\frac{10（{a}_{10}+{a}_{11}）}{{a}_{10}}$．
∵$\frac{{S}_{20}}{{a}_{10}}$＜0，∴$\frac{{{a}_{10}+a}_{11}}{{a}_{10}}$＜0．
又∵公差d＞0，等差數(shù)列是遞增數(shù)列，∴a₁₀＜a₁₁，
由$\frac{{{a}_{10}+a}_{11}}{{a}_{10}}$＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{10}＜0}\\{{a}_{11}＞0}\end{array}\right.$，即前10項值為負，S₁₀最小，
故答案為：10．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項和，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．