【題目】已知是定義在上的函數(shù),記,的最大值為.若存在,滿足,,,則稱一次函數(shù)是的“逼近函數(shù)”此時(shí)的稱為在上的“逼近確界”.
(1)驗(yàn)證是,的“逼近函數(shù)”;
(2)已知,,.若是的“逼近函數(shù)”,求a,b的值;
(3)已知,,求證;對(duì)任意常數(shù)a,b,.
【答案】(1)見解析;(2)a.b;(3)見解析.
【解析】
(1)記G(x)=2x2﹣(4x﹣1)=2(x﹣1)2﹣1,x∈[0,2].利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得|G(x)|的最大值為1,且G(0)=1,G(1)=﹣1,G(2)=1.
(2)F(x)(ax+b),由,可得M(a,b)=b,a.存在x0∈(0,4)滿足F(x2)=M(a,b),即F(a,b)max=F(x2)=b,即可得出.
(3)M(a,b)|t﹣at2﹣b|.即可得出.
(1)記G(x)=2x2﹣(4x﹣1)=2(x﹣1)2﹣1,x∈[0,2].則|G(x)|的最大值為1,
且G(0)=1,G(1)=﹣1,G(2)=1.故y=4x﹣1是g(x)=2x2,x∈[0,2]的“逼近函數(shù)”.
(2)F(x)(ax+b),由,可得M(a,b)=b,a.
存在x0∈(0,4)滿足F(x2)=M(a,b),即F(a,b)max=F(x2)=b,
即F(x)x﹣bb,故x2=1.
由F(1)b=b,可得b.
(3)證明:M(a,b)|t﹣at2﹣b
|.
當(dāng)[0,2]時(shí),2M(a,b)≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|>1,故M(a,b).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)院為篩查某種疾病,需要檢驗(yàn)血液是否為陽性,現(xiàn)有份血液樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:①逐份檢驗(yàn),列需要檢驗(yàn)次;②混合檢驗(yàn),將其(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性,就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.
(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽性,若采用逐份檢驗(yàn)的方式,求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.
(2)現(xiàn)取其中(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
(i)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(ii)若,且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求的最大值.
參考數(shù)據(jù):,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),證明: (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記在區(qū)間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】江心洲有一塊如圖所示的江邊,,為岸邊,岸邊形成角,現(xiàn)擬在此江邊用圍網(wǎng)建一個(gè)江水養(yǎng)殖場,有兩個(gè)方案:方案l:在岸邊上取兩點(diǎn),用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊線圍成三角形(,兩邊為圍網(wǎng));方案2:在岸邊,上分別取點(diǎn),用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形.請(qǐng)分別計(jì)算,面積的最大值,并比較哪個(gè)方案好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn), .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著自媒體直播平臺(tái)的迅猛發(fā)展,直播平臺(tái)上涌現(xiàn)了許多知名三農(nóng)領(lǐng)域創(chuàng)作者,通過直播或視頻播放,幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民在直播平臺(tái)上銷售了大量的農(nóng)產(chǎn)品,促進(jìn)了農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)發(fā)展,當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)與農(nóng)村管理部門對(duì)近幾年的某農(nóng)產(chǎn)品年產(chǎn)量進(jìn)行了調(diào)查,形成統(tǒng)計(jì)表如下:
年份 | ||||||
年份代碼 | ||||||
年產(chǎn)量(萬噸) |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量;
(3)從年到年的年年產(chǎn)量中隨機(jī)選出年的產(chǎn)量進(jìn)行具體調(diào)查,求選出的年中恰有一年的產(chǎn)量小于萬噸的概率.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.(參考數(shù)據(jù):)
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