【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，證明: （其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）當時， 的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

（2）問題轉(zhuǎn)化為，令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）由題意，函數(shù)的定義域為,

當時，恒成立，故的遞增區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，在區(qū)間，時，時，

所以的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時， 的遞增區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當時，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

（2）當時，由,只需證明.

令 ，.

設(shè)，則.

當時，，單調(diào)遞減;

當時，，單調(diào)遞增,

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是 成立.

故成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響對近6年宣傳費和年銷量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年宣傳費（萬元）

38

48

58

68

78

88

年銷售量（噸）

16.8

18.8

20.7

22.4

24.0

25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關(guān)系式，兩邊取對數(shù)，即，令，即對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

（1）從表中所給出的6年年銷售量數(shù)據(jù)中任選2年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于21噸的概率．

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（3）若生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為200（萬元），且每生產(chǎn)1（噸）產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本+年宣傳費），銷售收入為（萬元），假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費，你認為該決策合理嗎？請說明理由．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是，，的中點.

（1）證明：平面；

（2）求點C到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】市某機構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦年足球世界杯的態(tài)度，隨機選取了位市民進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

支持

不支持

合計

男性市民

女性市民

合計

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題：

（i）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān)；

（ii）已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教師，現(xiàn)從這位退休老人中隨機抽取人，求至多有位老師的概率.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在 △ABC 中，設(shè) a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，已知向量 = (a，sinC－sinB)，= (b + c，sinA + sinB)，且

(1) 求角 C 的大小

(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周長的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c（x）=1200+ x3（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：p2= ，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元．

（1）設(shè)產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；

（2）產(chǎn)量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值（精確到1萬元）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解中學生對交通安全知識的掌握情況，從農(nóng)村中學和城鎮(zhèn)中學各選取100名同學進行交通安全知識競賽.下圖1和圖2分別是對農(nóng)村中學和城鎮(zhèn)中學參加競賽的學生成績按，，，分組，得到的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）分別估算參加這次知識競賽的農(nóng)村中學和城鎮(zhèn)中學的平均成績；

（Ⅱ）完成下面列聯(lián)表，并回答是否有的把握認為“農(nóng)村中學和城鎮(zhèn)中學的學生對交通安全知識的掌握情況有顯著差異”？

成績小于60分人數(shù)

成績不小于60分人數(shù)

合計

農(nóng)村中學

城鎮(zhèn)中學

合計

附：

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A1C1和BC的中點．

（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求證：C1F//平面ABE．

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