Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求異面直線A₁D與D₁C所成的角；
（2）求證：面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件得A₁BCD₁是平行四邊形，所以∠BA₁D是異面直線A₁D與D₁C所成的角，由此能求出異面直線A₁D與D₁C所成的角．
（2）由正方形性質(zhì)得BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥面AA₁C₁C，由此能證明面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

解答： （1）解：因?yàn)锳₁D₁=BC且A₁D₁∥BC，
所以A₁BCD₁是平行四邊形，則D₁C∥A₁B，
所以∠BA₁D是異面直線A₁D與D₁C所成的角，
因?yàn)锳₁D=D₁C=BD，所以∠BA₁D=60°．
（2）證明：因?yàn)锳BCD是正方形，所以BD⊥AC，
因?yàn)锽D⊥CC₁，AC∩CC₁=C，所以BD⊥面AA₁C₁C，
因?yàn)锽D?面A₁BD，
所以面AA₁C₁C⊥面A₁BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查面面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．