Question

如圖是一個計算機裝置示意圖，J₁，J₂是數(shù)據(jù)入口處，C是計算機結果的出口，計算過程是由J₁，J₂分別輸入正整數(shù)m和n，經過計算后的結果由C輸出．此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質：
①若J₁，J₂分別輸入1，則輸出結果為1；
②若J₂輸入1，J₁輸入正整數(shù)增大1，則輸出結果為原的2倍．③若J₁輸入任何固定正整數(shù)不變，J₂輸入正整數(shù)增大1，則輸出結果比原減小1；
（1）若J₁輸入正整數(shù)m，J₂輸入1，則輸出結果為多少？
（2）若J₁輸入正整數(shù)m，J₂輸入正整數(shù)n，則輸出結果為多少？
（3）若J₁與J₂依次輸入相同的正整數(shù)3，4，5，…，n（n≥3），求證：輸出結果的倒數(shù)和小于1．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）f （1，1），f （2，1），…，f （m，1），…，組成以f （1，1）為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）f（m，n+1）=f（m，n）-1，所以f（m，1），f（m，2），f（m，3），…，f（m，n），…，組成以f（m，1）為首項，-1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列，等比數(shù)列通項公式即可求得．
（3）當n≥3時，f（n，n）＞2f（n-1，n-1）＞4f（n-2，n-2）＞…＞2^n-3f（3，3）=2^n-2，即可證明．

解答： 解：（1）因為f （m+1，1）=2f （m，1），于是f （1，1），f （2，1），…，f （m，1），…，組成以f （1，1）為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴有f （m，1）=f （1，1）?2^m-1=2^m-1．                                     …3分
（2）因為f（m，n+1）=f（m，n）-1，所以f（m，1），f（m，2），f（m，3），…，f（m，n），…，組成以f（m，1）為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
∴f（m，n）=f（m，1）-（n-1）=2^m-1-（n-1）．                               …7分
（3）由（2）知：f（n，n）=2^n-1-（n-1），則f（n+1，n+1）=2ⁿ-n，則f（n+1，n+1）-2f（n，n）=n-2＞0（n≥3），
∴當n≥3時，f（n，n）＞2f（n-1，n-1）＞4f（n-2，n-2）＞…＞2^n-3f（3，3）=2^n-2，
∴

1

f(3，3)

+

1

f(4，4)

+…+

1

f(n，n)

≤

1

2

+

1

4

+…

1

2n-2

=

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

＜1．…13分．

點評：本題解題的思想是類比特征，看作是數(shù)列問題，利用數(shù)列知識求解．