Question

若函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

（ω＞0）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成公差為π的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零點(diǎn)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）把f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，然后由周期公式求周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx-

π

3

），結(jié)合在x∈[0，2π]上的零點(diǎn)求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

（1-cos2ωx）-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin（2ωx-

π

3

），
依題意得函數(shù)f（x）的周期為π且ω＞0，
∴2ω=

2π

π

=2，
∴ω=1，則m=±1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx-

π

3

），∴2x-

π

3

=kπ(k∈Z)，
∴x=

kπ

2

+

π

6

．
又∵x∈[0，2π]，
∴x=

π

6

，

2π

3

，

7π

6

，

5π

3

．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零點(diǎn)的和為

π

6

+

2π

3

+

7π

6

+

5π

3

=

11π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)兩倍角公式、輔助角公式、等差數(shù)列公差、等差數(shù)列求和方法、函數(shù)零點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．