Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=-1有解，求a的最小值；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，不等式f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分類參數(shù)a=x+

4

x

（x＞0），利用基本不等式即可求得a的最小值；
（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將x∈[0，4]時(shí)，f（x）≥a恒成立，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，a≤

x2+3

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立，利用基本不等式即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵x²-ax+3=-1，
∴x²+4=ax，
∴a=

x2+4

x

=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)），
∴當(dāng)x=2時(shí)，a有最小值4；
（2）x∈[0，4]時(shí)，f（x）≥a恒成立?當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，a≤

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

-2恒成立，
令g（x）=（x+1）+

4

x+1

-2，則a≤g（x）_min（0≤x≤4）成立，
又（x+1）+

4

x+1

-2≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），即g（x）_min=2，
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查基本不等式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．