Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
（1）若關(guān)于x的方程f（x）=g（x）總有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）-g（x）＞1恒成立，求k的取值范圍；
（3）若函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函數(shù)，判斷F（x）的單調(diào)性并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡方程f（x）=g（x），利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求k的取值范圍；
（2）將不等式f（x）-g（x）＞1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求k的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出k，然后利用分式函數(shù)的單調(diào)性即可進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+1+k（k∈R），g（x）=2^x-1
∴由f（x）=g（x）得2^x+1+k=2^x-1，
即k=2^x-1-2^x+1=2^x-1-2•2^x=-2^x-1，
∵2^x-1＜-1，
∴要使f（x）=g（x）總有實(shí)數(shù)根，則k＜-1，
即k的取值范圍是k＜-1；
（2）∵f（x）-g（x）=2^x+1+k-（2^x-1）=2^x+k+1，
∴由f（x）-g（x）＞1得：
f（x）-g（x）=2^x+1+k＞1，
即k＞-2^x在x∈（1，+∞）時(shí)恒成立，
∵當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，-2^x＜-2，
即k≥2．
（3）F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+k

2x-1

=

2?2x+k

2x-1

，
若F（x）=

f(x)

g(x)

是奇函數(shù)，
則F（-x）=-F（x），
即

2?2-x+k

2-x-1

=-

2?2x+k

2x-1

，
∴

2+k?2x

1-2x

=-

2?2x+k

2x-1

=

2?2x+k

1-2x

，
即2+k?2^x=2?2^x+k，
解得k=2．
∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

，定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵

2x+1+2

2x-1

=2?

2x+1

2x-1

=2?

2x-1+2

2x-1

=2(1+

2

2x-1

)
∴當(dāng)x＞0時(shí)，y=2^x-1為增函數(shù)，且2^x-1＞0，此時(shí)y=

2

2x-1

為減函數(shù)，∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

單調(diào)遞減．
當(dāng)x＜0時(shí)，y=2^x-1為增函數(shù)，且2^x-1＜0，此時(shí)y=

2

2x-1

為減函數(shù)，∴F（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+1+2

2x-1

單調(diào)遞減．
綜上函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的基本運(yùn)算，綜合考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．