【題目】關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( )
(1)是的極小值點;
(2)函數(shù)有且只有1個零點;
(3)恒成立;
(4)設(shè)函數(shù),若存在區(qū)間,使在上的值域是,則.
A.(1) (2)B.(2)(4)C.(1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】
對于(1),對函數(shù)求導,得出函數(shù)的單調(diào)性,可判斷;
對于(2)令,對其求導,得出其單調(diào)性,且可得出當時,可判斷;
對于(3),令,對其求導,得出其單調(diào)性,取特殊函數(shù)值,可判斷;
對于(4),對函數(shù)求導可得,分析判斷出在上單調(diào)遞增,也即是,在單調(diào)遞增,將已知條件轉(zhuǎn)化為 在上至少有兩個不同的正根,可得,令 對求導,分析的單調(diào)性,可得出的范圍,可判斷命題.
對于(1),由題意知,,令得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以是的極小值點,故(1)正確;
對于(2)令,則.函數(shù)在上單調(diào)遞減, 又當時,,
所以函數(shù)有且只有1個零點,故(2)正確;
對于(3),令,則,
所以函數(shù)在單調(diào)遞減,且,所以函數(shù)在內(nèi)不是恒成立的,
所以不是恒成立的,故(3)不正確;
對于(4),因為,所以,
令,則,所以當時,,
所以在上單調(diào)遞增,且,所以當時,,
所以在上單調(diào)遞增,也即是,在單調(diào)遞增,
又因為在上的值域是,所以 ,
則 在上至少有兩個不同的正根, 則,
令求導得
令,則,所以 在上單調(diào)遞增,且,
所以當時, ,當時,,
所以在是單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,而
所以,故(4)正確;
所以正確的命題有:(1)(2)(4),
故選:C.
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【題目】設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根,那么過兩點、的直線與圓的位置關(guān)系是( )
A.相離B.相切C.相交D.隨的變化而變化
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【題目】已知橢圓:()的左右焦點分別為,,點在橢圓上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)點P,Q在橢圓上,O為坐標原點,且直線,的斜率之積為,求證:為定值;
(3)直線l過點且與橢圓交于A,B兩點,問在x軸上是否存在定點M,使得為常數(shù)?若存在,求出點M坐標以及此常數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),有下述命題:①若是奇函數(shù),則的圖象關(guān)于點對稱;②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則為偶函數(shù);③若對,有,則2是的一個周期;④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確的命題是______.(寫出所有正確命題的序號)
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【題目】為響應(yīng)綠色出行,某市在推出“共享單車”后,又推出“新能源分時租賃汽車”.其中一款新能源分時租賃汽車,每次租車收費的標準由兩部分組成:①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計費;②行駛時間不超過分時,按元/分計費;超過分時,超出部分按元/分計費.已知王先生家離上班地點公里,每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素,每次路上開車花費的時間 (分)是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了次路上開車花費時間,在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示:
時間(分) | ||||
頻數(shù) |
將各時間段發(fā)生的頻率視為概率,每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分.(1)寫出王先生一次租車費用(元)與用車時間(分)的函數(shù)關(guān)系式;(2)若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”,設(shè)表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù),求的分布列和期望.
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【題目】在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程是.
(Ⅰ)寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線經(jīng)過曲線的焦點且與曲線相交于兩點,設(shè)線段的中點為,求的值.
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【題目】已知數(shù)列與滿足,.
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且數(shù)列是公比等于2的等比數(shù)列,求的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列;
(3)若,且,數(shù)列有最大值與最小值,求的取值范圍.
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【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用萬元滿足(其中,為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為元件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,該公司的利潤最大?
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【題目】已知數(shù)列和滿足:,,且對一切,均有.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)設(shè),記數(shù)列的前項和為,求正整數(shù),使得對任意,均有.
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