Question

13．已知函數(shù)f（x）=x-ax²-ln（x+1），其中a∈R．
（1）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（2）=0，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，判斷是否滿足f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x-ax²-ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-2{ax}^{2}+（1-2a）x}{x+1}$，
∵x=2是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0，解得：a=$\frac{1}{6}$；
（2）f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-2{ax}^{2}+（1-2a）x}{x+1}$，（x≥0），
令g（x）=-2ax+（1-2a），
a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，令g（x）=0，x=$\frac{1-2a}{2a}$＜0，g（x）＜0在[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）遞減，f（x）_最大值=f（0）=0，成立，
0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x=$\frac{1-2a}{2a}$＞0，
令g（x）＞0，解得：x＜$\frac{1-2a}{2a}$，令g（x）＜0，解得：x＞$\frac{1-2a}{2a}$，
∴f（x）在[0，$\frac{1-2a}{2a}$）遞增，在（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（$\frac{1-2a}{2a}$）=0，
∴$\frac{1-2a}{2a}$-a（$\frac{1-2a}{2a}$）²-ln（$\frac{1-2a}{2a}$+1）=0，
整理得：ln2a=a-$\frac{1}{4a}$，
令t=2a，則lnt=$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2t}$，（0＜t＜1），
令h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2t}$，h′（t）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）＞0，
∴h（t）在（0，1）遞增，而h（1）=0，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)n2a＞a-$\frac{1}{4a}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
故0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，不滿足f（x）的最大值是0，不合題意；
a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）遞增，不合題意；
綜上：a≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．