Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=2，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量加減運算的幾何意義作圖，得出$\overrightarrow{c}$的終點的軌跡，利用平面幾何的性質(zhì)得出|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=4，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，則四邊形OADB是菱形．OD=4．
設(shè)$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow-\overrightarrow{c}$．
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=2，∴C在以D為圓心，以2為半徑的圓D上．
∴當(dāng)C在線段OD上時，OC最小，即|$\overrightarrow{c}$|最�。�
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值為OD-OC=4-2=2．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，作出幾何圖形得出$\overrightarrow{c}$的終點的軌跡是關(guān)鍵．