Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+3x+2，g（x）=lnx
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（x）有兩個極值點(diǎn)的充要條件；
（Ⅱ）求證：當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為h（x）=ax²+3x+2-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得到$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax²+3x+2，g（x）=lnx，
∴h（x）=ax²+3x+2-lnx，
∴${h^'}（x）=2ax+3-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+3x-1}}{x}（x＞0）$，
∴h（x）有兩個極值點(diǎn)的充要條件是：
方程2ax²+3x-1=0有兩個不等的正根，
即$\left\{\begin{array}{l}△=9+8a＞0\\{x_1}+{x_2}=-\frac{3}{2a}＞0\\{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2a}＞0\end{array}\right.⇒-\frac{9}{8}＜a＜0$，
∴h（x）有兩個極值點(diǎn)的充要條件是$-\frac{9}{8}＜a＜0$；
（Ⅱ）a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立?
h（x）=ax²+3x+2-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，
令$u（x）=lnx-3x-2，{u^'}（x）=\frac{1}{x}-3=\frac{1-3x}{x}（x＞0）$，
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{3}）$時(shí)u′（x）＞0，當(dāng)$x∈（\frac{1}{3}，+∞）$時(shí)u′（x）＜0，
∴$x=\frac{1}{3}時(shí)，u（x{）_{max}}=-ln3-3＜0$，
故x∈（0，+∞），恒有$\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}＜0$，
所以當(dāng)a≥0時(shí)，$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，
即不等式f（x）≥g（x）恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．