Question

16．數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，前n項和記為S_n，若S_n=kⁿ+r^m（k，r∈R，m∈Z），則下列敘述正確的是（　�。�

• A． r=1，m為偶數(shù)
• B． r=1，m為奇數(shù)
• C． r=-1，m為偶數(shù)
• D． r=-1，m為奇數(shù)

Answer 1

分析 S_n=kⁿ+r^m（k，r∈R，m∈Z），可得a₁=S₁=k+r^m，a₁+a₂=k²+r^m，a₁+a₂+a₃=k³+r^m，解得a₁，a₂，a₃．由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，化為r^m=-1，由r∈R，m∈Z，即可得出．

解答 解：∵S_n=kⁿ+r^m（k，r∈R，m∈Z），
∴a₁=S₁=k+r^m，a₁+a₂=k²+r^m，a₁+a₂+a₃=k³+r^m，
解得a₁=k+r^m，a₂=k²-k，a₃=k³-k²，
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，
∴（k²-k）²=（k+r^m）（k³-k²），
∵k²（k-1）≠0，
∴k-1=k+r^m，
∴r^m=-1，
∵r∈R，m∈Z，
∴r=-1，m為奇數(shù)．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關系、整數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．