Question

7．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），則下列說法正確的是（　　）

• A． 若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則b=±1
• B． 若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則b=1
• C． 若b=-1，則函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)
• D． 若b=-1，則函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的定義，可得f（-x）=f（x），化簡整理，可得b=0，即可判斷A；
由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）=-f（x），化簡整理，可得b=±1，即可判斷B；
若b=-1，由換元法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C，D．

解答 解：對于A，若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得f（-x）=f（x），即為log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-bx）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），
即有$\sqrt{{x^2}+1}$-bx=$\sqrt{{x^2}+1}$+bx，解得b=0，故A錯(cuò)誤；
對于B，若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
可得f（-x）=-f（x），即為log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-bx）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx），
即有$\sqrt{{x^2}+1}$-bx=（$\sqrt{{x^2}+1}$+bx）^-1，即有x²+1-b²x²=1，
解得b=±1，故B錯(cuò)誤；
對于C，若b=-1，則f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）^-1
=log₂（$\sqrt{{x^2}+1}$+x），由t=$\sqrt{{x^2}+1}$+x在x≥0遞增，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
可得f（x）在R上遞增，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，注意運(yùn)用定義法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．