Question

已知在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，
（1）證明：2

BA

•

BC

=b²-（a-c）²；
（2）∠ACB=40°，點E在AC上，且EC=AB，求∠CBE的大�。�

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，左式利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，右式整理后利用余弦定理化簡，即可得證；
（2）在三角形ABC中，利用正弦定理列出關(guān)系式，設(shè)∠CBE=θ，在三角形BCE中，利用正弦定理列出關(guān)系式，根據(jù)EC=AB，整理即可求出∠CBE的大�。�

解答： （1）證明：∵△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，即B=

π

3

，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，即a²+c²-b²=ac，
左式=2accosB=ac，右式=b²-a²+2ac-c²=-ac+2ac=ac，
∴左式=右式，
則2

BA

•

BC

=b²-（a-c）²；
（2）解：在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sin80°

=

AB

sin40°

，
設(shè)∠CBE=θ，在△BCE中，由正弦定理得：

CE

sinθ

=

BC

sin(θ+40°)

，
∵CE=AB，∴sinθsin80°=sin40°sin（θ+40°），即-

1

2

[cos（θ+80°）-cos（θ-80°）]=-

1

2

[cos（θ+80°）-cosθ]，
整理得：sin（θ-40°）=0，
則θ=40°．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．