Question

15．無窮數(shù)列{a_n}中，a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n（n∈N^*），則該數(shù)列中所有實(shí)數(shù)的和是$-\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n，依次求出前六項(xiàng)找出規(guī)律，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限法，求出該數(shù)列中所有實(shí)數(shù)的和．

解答 解：因?yàn)椋?-$\sqrt{3}$i）^-1=$\frac{1}{1-\sqrt{3}i}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，所以a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n=$（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）^{n}$，
則${a}_{1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，${a}_{2}=（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）^{2}$=$\frac{-1+\sqrt{3}i}{8}$，${a}_{3}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{3}$=$-\frac{1}{8}$，
${a}_{4}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{4}$=$-\frac{1}{8}$×$\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，${a}_{5}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{5}$=$-\frac{1}{8}$×$\frac{-1+\sqrt{3}i}{8}$，
${a}_{6}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{6}$=（$-\frac{1}{8}$）×（$-\frac{1}{8}$）=$（-\frac{1}{8}）^{2}$，…，
所以無窮數(shù)列{a_n}所有實(shí)數(shù)為：$-\frac{1}{8}$，${（-\frac{1}{8}）}^{2}$，${（-\frac{1}{8}）}^{3}$，…構(gòu)成一個(gè)無窮的等比數(shù)列，
則該數(shù)列中所有實(shí)數(shù)的和S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-\frac{1}{8}[1-（-\frac{1}{8}）^{n}]}{1+\frac{1}{8}}$=$-\frac{1}{9}$，
故答案為：$-\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，等比數(shù)列前n項(xiàng)和在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用，考查極限思想，是中檔題．