Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n ，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=2x+1上，數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}-1}{3}$+$\frac{_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）是否存在常數(shù)p（p≠-1），使數(shù)列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是等比數(shù)列？若存在，求出p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）代入直線y=2x+1方程，當n≥2時利用a_n=S_n-S_n-1計算即得結(jié)論；
（2）由（1）及當n≥2時利用$\frac{_{1}-1}{3}$+$\frac{_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n與$\frac{_{1}-1}{3}$+$\frac{_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{n-1}-1}{{3}^{n-1}}$=a_n-1作差，計算可得數(shù)列{b_n}的通項公式，進而計算可得結(jié)論；
（3）通過（2）可知$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=$\frac{3}{3+p}$，當n≥2時$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2•$\frac{{3}^{n}-\frac{3}{2}}{{3}^{n}+p}$，通過令p=-$\frac{3}{2}$比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=2x+1上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n+1，即S_n=2n²+n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
又∵a₁=2+1=3滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4n-1；
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}-1}{3}$+$\frac{_{2}-1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n（n∈N^*），
∴當n≥2時，$\frac{_{n}-1}{{3}^{n}}$=a_n-a_n-1=4，
∴b_n=1+4•3ⁿ，
又∵$\frac{_{1}-1}{3}$=3即b₁=10不滿足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{10，}&{n=1}\\{1+4•{3}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10，}&{n=1}\\{-9+n+2•{3}^{n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（3）結(jié)論：存在常數(shù)p=-$\frac{3}{2}$，使數(shù)列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是等比數(shù)列．
理由如下：
由（2）可知$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=$\frac{3}{3+p}$，
當n≥2時，$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2•$\frac{{3}^{n}-\frac{3}{2}}{{3}^{n}+p}$，
令p=-$\frac{3}{2}$，則$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$=2（n≥2），此時$\frac{{T}_{1}-1}{3（3+p）}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{T}_{n}-n}{3（{3}^{n}+p）}$}是常數(shù)項，即為公比為1的等比數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．