Question

10．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則M的坐標為（0，1，1）．

Answer 1

分析 設(shè)出空間直角坐標系，推出相關(guān)點的坐標，設(shè)出M坐標，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，
∴DA，DC，DS兩兩垂直，
如圖以D為原點，直線DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
則D（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），$\overrightarrow{BA}$=（0，-2，0）.$\overrightarrow{CS}$=（0，-2，2）.$\overrightarrow{BA}=（0，-2，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{2}，0，0）$
設(shè)$\overrightarrow{CM}$=$λ\overrightarrow{CS}$=（0，-2λ，2λ）.$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CM}$=（-$\sqrt{2}$，-2λ，2λ）．
∠ABM=60°．可得：cos60°=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{|BA}\left|\right|\overrightarrow{BM|}}$=$\frac{|4λ|}{2•\sqrt{2+（-2{λ）}^{2}+4{λ}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$.$\overrightarrow{CM}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{DM}$=（0，1，1）
M（0，1，1）．
故答案為：（0，1，1）．

點評 本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，空間點的坐標的求法，考查計算能力．