Question

已知圓C與圓C₁：（x+1）²+y²=1外切，與圓C₂：（x-1）²+y²=9內(nèi)切．
（Ⅰ）求圓心C的軌跡T的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-2，0），M、N是軌跡T上不同兩點，當PM⊥PN時，證明直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出點C的軌跡是以C₁、C₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓，由此能求出點C的軌跡T的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直線MN：x=my+b，由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得（3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0，由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明直線MN：x=my-

2

7

過定點 （-

2

7

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵圓C與圓C₁：（x+1）²+y²=1外切，與圓C₂：（x-1）²+y²=9內(nèi)切，
設(shè)圓C的半徑為r，∴|CC₁|=r+1，|CC₂|=3-r，
∴|CC₁|+|CC₂|=4，…（2分）
∴點C的軌跡是以C₁、C₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓
∴點C的軌跡T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直線MN：x=my+b   …（6分）
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0…（7分）
∴y₁+y₂=-

6mb

3m2+4

，y₁y₂=

3b2-12

3m2+4

，
∵PM⊥PN，

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂），
∴

PM

•

PN

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2）（my₂+b+2）+y₁y₂=0…（9分）
整理，得(m2+1)y1y2+m(b+2)(y1+y2)+(b+2)2=0…（10分）
∴（m²+1）•

3b2-12

3m2+4

+m （b+2）•（-

6mb

3m2+4

）+（b+2）2=0
化簡，得7b²+16b+4=0…（11分）
解得b=-

2

7

或b=-2（舍去），…（12分）
故直線MN：x=my-

2

7

過定點 （-

2

7

，0）．

點評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量的數(shù)量積等知識點的合理運用．