Question

10．設(shè)O為銳角△ABC的外心，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則x+y的最大值是（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 可先畫(huà)出圖形，連接AB中點(diǎn)和O，并設(shè)|AB|=c，|AC|=b，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算便可得到$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}^{2}$，這樣根據(jù)條件在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的兩邊分別乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，并整理可得到，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx+\frac{1}{3}by}\\{\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}cx+by}\end{array}\right.$，消元即可得出$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\end{array}\right.$，從而表示出x+y，根據(jù)基本不等式即可求出x+y的最大值．

解答 解：如圖，設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}^{2}$；
又cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的兩邊分別乘以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{c}^{2}={c}^{2}x+\frac{1}{3}bcy}\\{\frac{1}{2}^{2}=\frac{1}{3}bcx+^{2}y}\end{array}\right.$；
整理得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}c=cx+\frac{1}{3}by}\\{\frac{1}{2}b=\frac{1}{3}cx+by}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\end{array}\right.$；
∴$x+y=\frac{9}{8}-\frac{3}{16}（\frac{c}+\frac{c}）≤\frac{9}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$；
∴x+y的最大值為$\frac{3}{4}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，三角形的外心的概念，消元法解二元一次方程組，以及基本不等式求最值，不等式的性質(zhì)．