Question

2．定義：若函數(shù)y=f（x）對定義域內(nèi)的任意x，都有f（m+x）=f（m-x）恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象的直線x=m對稱，若函數(shù)f（x）=cx³+ax²+bx+1關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，且a＞4（${\sqrt{e}$+1），則函數(shù)g（x）=e^x+f（x）在下列區(qū)間內(nèi)存在零點的是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=cx³+ax²+bx+1關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，可得c=0．由已知可得${f}^{′}（\frac{1}{2}）$=0，b=-a≠0．可得g（x）=e^x+ax²-ax+1．利用函數(shù)零點判定定理即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=cx³+ax²+bx+1關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，則c=0，否則函數(shù)f（x）具有單調(diào)性與兩個極值點，不滿足題意．
∴f′（x）=2ax+b，∴${f}^{′}（\frac{1}{2}）$=a+b=0．
∴b=-a≠0．
∴g（x）=e^x+f（x）=e^x+ax²-ax+1．
g（1）=e+1＞0，
∵a＞4（${\sqrt{e}$+1），∴g$（\frac{1}{2}）$=$\sqrt{e}$+1-$\frac{1}{4}$a＜$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{4}$a=0．
∴g$（\frac{1}{2}）$g（1）＜0，
因此函數(shù)g（x）=e^x+f（x）在下列區(qū)間內(nèi)存在零點的是區(qū)間$（\frac{1}{2}，1）$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)零點判定定理、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值點、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．