Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x-x-1，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時(shí)得出f（x），進(jìn)而得到f′（x）=e^x-1，這樣便可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，根據(jù)符號(hào)即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到$a＞\frac{x+1}{{e}^{x}}$恒成立，這樣設(shè)$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}$，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便可判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，這便可得到g（x）＜1，從而便可得出a的取值范圍；
（Ⅲ）容易得到$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$等價(jià)于e^x-xe^x-1＞0，可設(shè)h（x）=e^x-xe^x-1，求導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)上面的f（x）＞0可判斷出導(dǎo)數(shù)h′（x）＞0，從而得到h（x）＞h（0）=0，這樣即可得出要證明的結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，則f（x）=e^x-x-1，f'（x）=e^x-1；
令f'（x）=0，得x=0；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
即a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)贈(zèng)區(qū)間為[0，+∞）；
（Ⅱ）∵e^x＞0；
∴f（x）＞0恒成立，等價(jià)于$a＞\frac{x+1}{{e}^{x}}$恒成立；
設(shè)$g（x）=\frac{x+1}{{e}^{x}}$，x∈（0，+∞），$g′（x）=-\frac{x}{{e}^{x}}$；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜g（0）=1；
∴a≥1；
∴a的取值范圍為[1，+∞）；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$等價(jià)于e^x-x${e}^{\frac{x}{2}}$-1＞0；
設(shè)h（x）=e^x-x${e}^{\frac{x}{2}}$-1，x∈（0，+∞），$h′（x）={e}^{\frac{x}{2}}（{e}^{\frac{x}{2}}-\frac{x}{2}-1）$；
由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-x-1＞0恒成立；
∴${e^{\frac{x}{2}}}-\frac{x}{2}-1＞0$；
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＞h（0）=0；
因此當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，$ln\frac{{e}^{x}-1}{x}＞\frac{x}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，商的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，以及函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的意義，指數(shù)式的運(yùn)算．