已知圓C經(jīng)過點A(1,3)、B(2,2),并且直線m:3x-2y=0平分圓C.
(1)求圓C的方程;
(2)若過點D(0,1),且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點M、N.
(Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)(文科不做)若
OM
ON
=12,求k的值.
分析:(1)設(shè)圓C的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由圓C被直線平分可得3a-2b=0,結(jié)合點A、B在圓上建立關(guān)于a、b、r的方程組,解出a、b、r的值即可得到圓C的方程;
(2)(I)由題意,得直線l方程為kx-y+1=0,根據(jù)直線l與圓C有兩個不同的交點,利用點到直線的距離建立關(guān)于k的不等式,解之即可得到實數(shù)k的取值范圍;
(II)直線l方程與圓C方程聯(lián)解消去y,得(1+k2)x2-(4+4k)x+7=0.設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線l方程和向量數(shù)量積的坐標運算公式,化簡
OM
ON
=12得到關(guān)于k的方程,解之即可得到k的值.
解答:解:(1)設(shè)圓C的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2
∵圓C被直線m:3x-2y=0平分,∴圓心C(a,b)在直線m上,可得3a-2b=0…①,
又∵點A(1,3)、B(2,2)在圓上,∴
(1-a)2+(3-b)2=r2
(2-a)2+(2-b)2=r2
…②,
將①②聯(lián)解,得a=2,b=3,r=1.
∴圓C的方程是(x-2)2+(y-3)2=1;
(2)過點D(0,1)且斜率為k的直線l方程為y=kx+1,即kx-y+1=0,
(I)∵直線l與圓C有兩個不同的交點M、N,
∴點C(2,3)到直線l的距離小于半徑r,
|2k-3+1|
k2+1
<1
,解之得
4-
7
3
<k<
4+
7
3
;
(II)由
y=kx+1
(x-2)2+(y-3)2=1
消去y,得(1+k2)x2-(4+4k)x+7=0.
設(shè)直線l與圓C有兩個不同的交點坐標分別為M(x1,y1)、N(x2,y2),
可得x1+x2=
4+4k
1+k2
,x1x2=
7
1+k2
,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=
7k2
1+k2
+
4k+4k2
1+k2
+1,
OM
ON
=
7
1+k2
+(
7k2
1+k2
+
4k+4k2
1+k2
+1)=12,解之得k=1.
點評:本題著重考查了圓的標準方程、直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、向量的坐標運算公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C經(jīng)過點A(1,3)、B(2,2),并且直線l:3x-2y=0平分圓C,求圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C經(jīng)過點A(1,2)、B(3,0),并且直線m:2x-3y=0平分圓C.
(1)求圓C的方程;
(2)過點D(0,3),且斜率為k的直線l與圓C有兩個不同的交點E、F,若|EF|≥2
3
,求k的取值范圍;
(3)若圓C關(guān)于點(
3
2
,1)
對稱的曲線為圓Q,設(shè)M(x1,y1)、P(x2,y2)(x1≠±x2)是圓Q上的兩個動點,點M關(guān)于原點的對稱點為M1,點M關(guān)于x軸的對稱點為M2,如果直線PM1、PM2與y軸分別交于(0,m)和(0,n),問m•n是否為定值?若是求出該定值;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C經(jīng)過點A(1,4)、B(3,-2),圓心C到直線AB的距離為
10
,求圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,0),且圓心在直線x-y=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)若點P(x,y)為圓C上任意一點,求點P到直線x+2y+4=0的距離的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案