Question

13．若函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導函數(shù)在區(qū)間（2，4）上有零點，則f（x）在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，-3）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （-8，-4）

Answer 1

分析 先根據(jù)導函數(shù)在區(qū)間（2，4）上有零點，得到b的取值范圍，再利用b的取值范圍，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合b的取值范圍，選擇符合題意的選項．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R），
∴$f\;'（x）=1-\frac{{x}^{2}}$
∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{x}$（b∈R）的導函數(shù)在區(qū)間（2，4）上有零點，
∴當$1-\frac{{x}^{2}}=0$時，b=x²，x∈（2，4），
∴b∈（4，16），
令f′（x）＞0 得到$x＜-\sqrt或x＞\sqrt$
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$-\sqrt$），（$\sqrt，+∞$）
∵b∈（4，16），∴$\sqrt$∈（2，4），
∴（-8，-4）適合題意，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解，求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．