Question

7．如圖，由若干圓點組成如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有n（n＞1，n∈N）個點，每個圖形總的點數(shù)記為a_n，則$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{9}{{{a_{2014}}{a_{2015}}}}$=（　�。�

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{2013}{2014}$
• C． $\frac{3}{2015}$
• D． $\frac{9}{2015}$

Answer 1

分析 根據(jù)圖象的規(guī)律可得出通項公式a_n，根據(jù)數(shù)列{$\frac{9}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的特點可用列項法求出$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}+\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}+\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}+…+\frac{9}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n-1}{n}$，將n=2014代入可得答案．

解答 解：每個邊有n個點，把每個邊的點數(shù)相加得3n，這樣角上的點數(shù)被重復(fù)計算了一次，
故第n個圖形的點數(shù)為3n-3，即a_n=3n-3，
令S_n=$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}+\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}+\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}+…+\frac{9}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{9}{{{a_{2014}}{a_{2015}}}}$=$\frac{2013}{2014}$，
故選：B

點評 本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和求和問題．屬基礎(chǔ)題．