Question

19．無窮等差數(shù)列{a_n}的各項均為整數(shù)，首項為a₁，公差為d，S_n是其前n項和，3，21，15是其中的三項，給出下列命題，真命題有（　�。�
①對任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項．
②對任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項．
③存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立．

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的公式，分別討論前n項和3、21、15的具體項數(shù)，然后進(jìn)行推理即可．首先根據(jù)條件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假設(shè)15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，得出結(jié)論；②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項，得出結(jié)論．③利用等差數(shù)列的前n項和公式化簡S_2n=4S_n，得出結(jié)論．

解答 解：要使等差數(shù)列的公差最大，則3，15，21因為相鄰的前n項和，此時對應(yīng)兩項為15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且$\frac{78}{6}$=13，假設(shè)15和21之間有n項，那么99和21之間有13n項，所以99一定是數(shù)列{a_n}中的一項，所以①正確．
②30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項，所以②錯誤．
③如果有S_2n=4S_n，那么由等差數(shù)列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d]，化簡得到，d=2a₁，所以只要滿足條件d=2a₁的數(shù)列{a_n}，就能使得對任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，所以③正確．
故選：A．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出公差．考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．