Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦點分別為F₁，F₂，則在橢圓C上滿足∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$的點P的個數有（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2 個
• D． 4個

Answer 1

分析 由橢圓的標準方程，求得焦點坐標，則P坐標為（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），由題意可知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，根據向量數量積的坐標表示，求得n²=12-m²，將P代入橢圓方程，求得m²+4n²=16，即可求得m和n的值，即可求得P點的個數．

解答 解：設橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的點P坐標為P（m，n）
由a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
可得焦點分別為F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（-2$\sqrt{3}$，0）
由此可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-m，-n），
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，即$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
得（-2$\sqrt{3}$-m）（2$\sqrt{3}$-m）+n²=0，n²=12-m²，
又∵點P（m，n）在橢圓C上，即$\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{4}=1$
化簡得：m²+4n²=16，代入求得n²=$\frac{4}{3}$，m²=$\frac{32}{3}$，
∴n=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，m=±$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
故這樣的點由4個，
故選D．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．