Question

10．在△ABC中，已知$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$，則cosB的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)，整理得到2b²=a²+c²，代入表示出的cosB中，利用基本不等式即可求出cosB的最小值．

解答 解：∵$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanB}$，
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{2cosB}{sinB}$，可得：$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{2cosB}{sinB}$，
∴cosB=$\frac{si{n}^{2}B}{2sinAsinC}$，
又∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（\frac{2R}）^{2}}{2×\frac{a}{2R}×\frac{c}{2R}}$=$\frac{^{2}}{2ac}$，可得：2b²=a²+c²，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{4ac}$≥$\frac{2ac}{4ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴cosB的最小值為$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的應(yīng)用以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．