Question

18．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-a|，g（x）=x-1．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）如果?x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）＞g（x）化為|2x-1|+|x+1|-x+1＞0，去掉絕對(duì)值，作出函數(shù)的圖象，即可求不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）如果?x∈R，f（x）≥1恒成立，只需f（x）的最小值大于等于1即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式f（x）＞g（x）化為|2x-1|+|x+1|-x+1＞0，
設(shè)函數(shù)$y=\left\{\begin{array}{l}-4x+1，x＜-1\\-2x+3，-1≤x≤\frac{1}{2}\\ 2x+1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$
其圖象如圖所示，從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈R時(shí)，y＞0，
所以原不等式的解集為{x|x∈R}
（2）?x∈R，f（x）≥1恒成立，只需f（x）的最小值大于等于1即可，
當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=|{2x-1}|+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-3x+a+1，x＜\frac{1}{2}\\ x+a-1，\frac{1}{2}≤x≤a\\ 3x-a-1，x＞a\end{array}\right.$，∴$f{（x）_{min}}=a-\frac{1}{2}$
同理，當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，$f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}-a$
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{2}\\ a-\frac{1}{2}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-a≥1\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{3}{2}$或$a≤\frac{1}{2}$
∴a的取值范圍是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{3}{2}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．